MATEMÁTICANDO

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.

Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0
x - 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 - x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma inequação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros. Observe dois exemplos:

Exemplo 1: -2x + 7 > 0

Solução:

-2x > -7

Multiplicando por (-1)

2x < 7
x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: 2x - 6 < 0

Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2

Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x - 6 = 0
x = 3

I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO

1) Resolva as inequações abaixo U = N

a) 2x + 5 < -3x +40

2x + 3x < 40 - 5

5x < 35

x < 35/5

x < 7

S = {0, 1, 2, 3, 4,5, 6}

b) 6(x - 5) -2(4x +2) > 100

6x - 30 -8x - 4 > 100

6x -8x > 100 + 30 + 4

- 2x > 134 . (-1)

2x < -134/2

x < - 67

S = Φ

c) 7x - 9 < 2x + 16

7x -2x < 16 + 9

5x < 25

x < 25/5

x < 5

S =[0,1, 2, 3, 4}

d) -(8 - 4x - 7) ≤ 2x + 7

- 8 + 4x + 7 ≤ 2x + 7

4x - 2x ≤ 7 + 8 - 7

4x ≤ 8

x ≤ 8/4

x ≤ 2

S = { 0, 1, 2}

2) Resolva as inequações em U = Z

a) 2x + 5 ≥ -3x +40

2x + 3x ≥ 40 - 55x ≥ 35

x ≥ 35/5

x ≥ 7

S = {7, 8, 9, 10,11,12,......}

b) 6(x - 5) -2(4x +2) ≥ 80

6x - 30 -8x - 4 ≥ 80

6x - 8x ≥ 80 + 30 + 4

- 2x ≥ 114 . (-1)

2x ≤ -114

x ≤ 114/2

x ≤ -57

S = {....., -61,-60, -59, -58, -57}

c) 20 - (7x + 4) < 30

20 - 7x - 4 < 30

- 7x < 30 + 4 - 20

- 7x < 14 . (-1)

7x > -14

x > - 14/7

x > -2

S = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....}

d) -(8 - 5x) ≤ 2x + 7

-8+ 5x ≤ 2x + 7

5x - 2x ≤ 7 + 8

3x ≤ 15

x ≤ 15/3

x ≤ 5

S = { ..... - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

3) Resolva as inequações em U = R

a) 8x - 10 > 2x + 8

8x -2x > 8 + 10

6x >18

x > 18/6

x > 3

S = { x € R / x > 3}

b) 2(3x +7) < -4x + 8

6x + 14 < - 4x + 8

6x + 4x < 8 - 14

10 < - 6

x < - 6/10

x < -3/5

S = { x € R / x < -3/5}

c) 20 - (2x +5) ≤ 11 + 8x

20 - 2x - 5≤ 11 + 6x

- 2x - 6x ≤ 11 - 20+ 5

- 8x ≤ - 15 (- 1)

8x ≥ 15

x ≥ 15/8

S = { x € R / x ≥ 15/8}

d) 20 - 2(3x + 4) + 2(3 - 7x) > 2(-x+5) -7x +9

20 - 6x - 8 + 6 - 14x > - 2x + 10 - 7x + 9

- 6x -14x + 2x + 7x > 10 + 9 - 20 + 8 - 6

9x - 20x > 27 - 26

- 11x > 1 . (-1)

11x < - 1

x < - 1/11

S = { x € R / x < - 1/11}

1. O grau de uma função

O grau de uma variável independente é dado pelo seu expoente. Assim, as funções de segundo grau são dadas por um polinômio de segundo grau, e o grau do polinômio é dado pelo monômio de maior grau.

Portanto, as funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico que corresponde a essas funções é uma curva denominada parábola.

No dia-a-dia, há muitas situações definidas pelas funções de segundo grau. A trajetória de uma bola lançada para a frente é uma parábola. Se fizermos vários furos em várias alturas num bote cheio de água, os pequenos jorros de água que saem pelos furos descrevem parábolas. A antena parabólica tem a forma de parábola, originando o seu nome.

2. Definição

Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:

f (x) = ax² + bx + c, onde a

Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax². É essencial que exista um termo de segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo grau. Além disso, esse termo deve ser o de maior grau da função, pois se houvesse um termo de grau 3, isto é, ax³, ou de grau superior, estaríamos falando de uma função polinomial de terceiro grau.

Assim como os polinômios podem ser completos ou incompletos, temos funções de segundo grau incompletas, como:

f (x) = x²

f (x) = ax²

f (x) = ax²+ bx

f (x) = ax² + c

Pode acontecer de o termo de segundo grau aparecer isoladamente, como na expressão geral y = ax²; acompanhado por um termo de primeiro grau, como no caso geral y = ax² + bx; ou também unido a um termo independente ou a um valor constante, como em y = ax² + c.

É comum pensarmos que a expressão algébrica de uma função quadrática é mais complexa que a das funções lineares. Normalmente, também supomos que sua representação gráfica é mais complicada. Mas não é sempre assim. Além disso, os gráficos das funções quadráticas são curvas muito interessantes, conhecidas como parábolas.

3. Representação gráfica da função y = ax²

Como acontece com toda função, para representá-la graficamente temos, antes, de construir uma tabela de valores (Figura 3, ao lado).

Começamos representando a função quadrática y = x², que é a expressão mais simples da função polinomial de segundo grau.

Se unirmos os pontos com uma linha contínua, o resultado é uma parábola, como mostra a Figura 4, abaixo:

Observando atentamente a tabela de valores e a representação gráfica da função y = x²vamos perceber que o eixo Y, das ordenadas, é o eixo de simetria do gráfico.

Além disso, o ponto mais baixo da curva (aquele em que a curva se intercepta com o eixo Y) é o ponto de coordenadas (0, 0). Este ponto é conhecido como vértice da parábola.

Na Figura 5, ao lado, estão as representações gráficas de várias funções que têm como expressão geral y = ax².

Observando com atenção a Figura 5 podemos afirmar:

• O eixo de simetria de todos os gráficos é o eixo Y.
Como x² = (– x)², a curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.

• A função y = x² é crescente para x > x_v e decrescente para x < x_v. Trata-se de uma função contínua, pois para pequenas variações de xcorrespondem pequenas variações de y.

• Todas as curvas têm o vértice no ponto (0,0).

• Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas positivas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de mínimo que é o próprio vértice.

• Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas negativas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de máximo que é o próprio vértice.

• Se o valor de a for positivo, os ramos da parábola se dirigem para cima. Ao contrário, se a for negativo, os ramos se dirigem para baixo. Dessa forma, o sinal do coeficiente determina a orientação da parábola:

a > 0, a parábola abre-se para valores positivos de y.

a < 0, a parábola abre-se para valores negativos de y.

•	À medida que aumenta o valor absoluto de a, a parábola é mais fechada, isto é, os ramos ficam mais próximos do eixo de simetria: quanto maior \|a\|, mais a parábola se fecha.
•	Os gráficos de y = ax² e y = –ax² são simétricos entre si com relação ao eixo X, das abscissas.

1) A representação cartesiana da função $formdata=y=ax^2+bx+c$ é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

(A) a<0, b<0 e c>0
(B) a>0, b>0 e c<0
(C) a>0, b>0 e c>0
(D) a<0, b>0 e c<0
(E) a<0, b>0 e c>0

        Isto é apenas análise de coeficientes:
        - a concavidade da parábola está para baixo, portanto, o coeficiente "a" é negativo (a<0);
        - a parábola corta o eixo Y (eixo vertical) em um ponto acima da origem, logo "c" é positivo (c>0);
        - após o ponto de corte do eixo Y, a parábola sobe, então "b" é positivo;
        - resposta certa letra "E".

2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

(A) $formdata=y=2x^2+3x-9$
(B) $formdata=y=-2x^2+3x-9$
(C) $formdata=y=2x^2-3x-9$
(D) $formdata=y=-2x^2-3x-9$
(E) $formdata=y=2x^2+3x+9$

- no gráfico é indicado quais são as raízes da função (-3/2 e 3), então sabemos quais são os fatores da equação (x+3/2) e (x-3). Agora efetuando a multiplicação entre estes dois fatores, achamos uma suposta equação para este gráfico:

- mas esta é somente uma suposta equação, pois veja quanto vale seu coeficiente "c". Ele vale -9/2, e no gráfico mostra que ele deve valer "-9". Então, o que devemos fazer para -9/2 virar -9? Isso mesmo, multiplicar TUDO por 2. Daí teremos a equação certa.

2x²-3x-9 Letra "C"

3) O valor mínimo do polinômio $formdata=y=x^2+bx+c$ , cujo gráfico é mostrado na figura, é:

(A) $formdata=-1$
(B) $formdata=-2$

(C) $formdata=-\frac{9}{4}$

(D) $formdata=-\frac{9}{2}$

(E) $formdata=-\frac{3}{2}$

- este exercício envolve dois tópicos de equações quadráticas: calcular a equação e calcular o vértice;
- é dada uma equação incompleta, sendo indicado somente o valor de "a" (a=1). Porém, no gráfico podemos descobrir as raízes e achar os fatores da função. As raízes são 0 e 3, portanto os fatores, (x-0) e (x-3). Vamos multiplicar os fatores:

- agora sabemos qual é a equação, e é pedido o valor mínimo da função (Yv). Colocando na fórmula:

Resposta certa, letra "C"

4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade $formdata=x^2+1>2x$ são os números x, tais que

(A) $formdata=x\in\Re$
(B) $formdata=x\ge+1$
(C) $formdata=x>1$
(D) $formdata=x\ne+1$
(E) $formdata=x<1$

- esta é uma questão de análise de sinal, pois a equação dada pode ser escrita da seguinte forma:

x²+1>2x => x²-2x+1>0

- agora, o que está sendo perguntado é: quando a equação x²-2x+1 é positiva? Vamos fazer a análise de sinal, para isso devemos calcular as raízes. Aplicando Bhaskara, achamos 1 e 1 (raízes idênticas). Portanto, o esboço do gráfico é assim:

- o exercício pede quando ela é positiva. Veja que ela está toda em cima da origem, mas atenção no ponto x=1. Ela vale ZERO, e zero não é positivo nem negativo, portanto ela será positiva em todos os números, menos no 1. Resposta certa letra "D"

5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação $formdata=y=-40x^2+200x$ . Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a

(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200s
(E) 10.000 m , 5s

- primeiro devemos fazer o esboço do gráfico. Veja como é:

- sabendo que o eixo X representa o tempo e o eixo Y representa a altura, então calculando o Yv teremos a altura máxima atingida, e a outra raiz será o tempo que o projétil permanece no ar.

Resposta certa letra "C"

6) (UFRGS) Considere a função $formdata=f:\Re\rightarrow\Re$ , definida por $formdata=f(x)=ax^2+bx+c$ , com $formdata=a<0$ e $formdata=c>0$ . O gráfico de f

(A) não intercepta o eixo das abscissas
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.

- é dito que o coeficiente "a" é menor que zero, e o "c" é maior que zero. Portanto, deve ter concavidade para baixo (boca triste) e cortar o eixo Y em um ponto acima da origem. Podemos fazer um esboço gráfico da seguinte maneira:

- este é um gráfico que poderia ser da função dada. A única alternativa que bate com este gráfico é a letra "B".

- P.S.: Eixo das Abscissas é o eixo X e eixo das ordenadas é o eixo Y.

7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação $formdata=2x^2-7x+3=0$

(A) $formdata=\frac{7}{3}$

(B) $formdata=\frac{7}{2}$

(C) $formdata=\frac{3}{2}$

(D) $formdata=\frac{3}{7}$

(E) $formdata=\frac{2}{7}$

- a soma vale 7/2 e o produto vale 3/2, portanto a razão entre a soma e o produto vale:

Resposta certa letra "A"

- Obs.: Sempre que for pedido razão de dois termos, o que vai em cima da divisão é o que foi dito primeiro, portanto ele pede a "soma" dividida pelo "produto".

8) A solução de $formdata=x-x^2>0$ é

(A) (0, 1)
(B) (-∞, 0)U(1, +∞)
(C) (-1, 1)
(D) (-∞, -1)U(1,+∞)
(E) R

- aqui é outro exercício de "análise de sinal". A equação dada só está um pouco "bagunçada". Vamos arrumá-la:

- agora, o que é pedido é: quando a função é positiva?
- vamos fazer a análise dos sinais, primeiro calculando as raízes, que são 0 e 1. Portanto o esboço do gráfico é o seguinte:

- portanto, ela é positiva no intervalo de zero até um (0,1). Resposta certa letra "A".

9) (UFRGS) Para que a prábola da equação $formdata=y=ax^2+bx-1$ contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,

(A) $formdata=3$ e $formdata=-3$

(B) $formdata=\frac{1}{3}$ e $formdata=-\frac{1}{3}$

(C) $formdata=3$ e $formdata=-\frac{1}{3}$

(D) $formdata=\frac{1}{3}$ e $formdata=-3$

(E) $formdata=1$ e $formdata=\frac{1}{3}$

- os pontos dados são coordenadas (X, Y) então o que devemos fazer é substituir cada um deles em uma equação:

- achamos duas equações com duas incógnitas. Agora devemos resolver o sisteminha formado pelas duas:

- substituimos o valor de a na primeira equação e substituímos na segunda:

Agora substituindo o valor de "a" na segunda equação:

Voltamos para a primeira equação e substituimos o valor de "b" para achar o valor de "a":

Resposta certa letra "B".

10) O vértice da parábola que corresponde à função $formdata=y=(x-2)^2+2$ é

(A) (-2, -2)
(B) (-2, 0)
(C) (-2, 2)
(D) (2, -2)
(E) (2, 2)

- a única dificuldade deste exercício é achar a função escrita de um modo mais organizado. Vamos calcular o parênteses, que está ao quadrado:

- agora é só calcular o valor das coordenadas do vértice, sabendo que a=1 b=-4 e c=6.

Resposta certa letra "E"

11) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.

Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:

(A) 17,5m
(B) 15,0m
(C) 12,5m
(D) 10,0m
(E) 7,5m

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domingo, 5 de outubro de 2014

Progressões Geométricas - P.G

Progressões Aritméticas - P.A

quarta-feira, 3 de setembro de 2014

Sequências e progressões aritméticas e geométricas - Introdução

Inequação do 2º grau

Inequação do 1º Grau

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Funções do 2º Grau

1. O grau de uma função

2. Definição

3. Representação gráfica da função y = ax²

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A)	{x R / -1 < x < 3}
B)	{x R / -1 < x ≤ 3}
C)	{x R / x < -1 ou x > 3}
D)	{x R / x ≤ -1 ou x ≥ 3}
E)	{x R / -1 ≤ x ≤ 3} Apresentamos vários exercícios resolvidos sobre inequações do segundo grau, que caíram em concursos públicos. (Prova Resolvida PRF 2013 – Cespe) Considere que o nível de concentração de álcool na corrente sanguínea, em g/L, de uma pessoa, em função do tempo t, em horas, seja expresso por N = – 0,008(t² – 35t + 34). Considere, ainda, que essa pessoa tenha começado a ingerir bebida alcoólica a partir de t = t0 (N(t0 = 0), partindo de um estado de sobriedade, e que tenha parado de ingerir bebida alcoólica em t = t1, voltando a ficar sóbria em t = t2. Considere, por fim, a figura acima, que apresenta o gráfico da função N(t) para t є [t0, t2]. Com base nessas informações e tomando 24,3 como valor aproximado de √589, julgue os itens que se seguem. 23. O nível de concentração de álcool na corrente sanguínea da pessoa em questão foi superior a 1 g/L por pelo menos 23 horas. Isso ocorre quando: - 0,008(t² – 35t + 34) > 1 - 8(t² – 35t + 34) > 1000 t² – 35t + 34 > – 125 t² – 35t + 159 > 0 Delta = b² – 4ac = 35² – 4.1.159 = 589 t = (35 + 24,3)/2 ou t = (35 – 24,3)/2 t = 29,65 ou t = 5,35 S = {5,35 ˂ x ˂ 29,65} , diferença entre eles = 24,3 Questão CERTA. 24. O valor de t2 é inferior a 36. Só acharmos as raízes da função: -0,008(t² – 35t + 34) = 0 (x 1000) -8(t² – 35t + 34) = 0 (: -8) t² – 35t + 34 = 0 t0 = 1 ou t2 = 34 Questão CERTA. 25. O nível de concentração mais alto de álcool na corrente sanguínea da referida pessoa ocorreu em t = t1, com t1 > 18 horas. O nível mais alto, em se tratando de uma função do segundo grau, é exatamente no meio das duas raízes, ou seja, basta tirar a média aritmética de 1 e 34, que é igual a 35/2 = 17,5 Questão ERRADA. (Prova Resolvida PM Ceará 2012) O batalhão de polícia militar de uma cidade constituída dos bairros B1, B2 e B3 será dividido em três pelotões distintos de modo que cada um fique responsável pelo policiamento ostensivo de um desses bairros. As populações dos bairros B1, B2 e B3 são, respectivamente, iguais a 60.000, 66.000 e 74.000 pessoas; o batalhão possui um efetivo de 4.000 militares dos quais 300 trabalham exclusivamente em uma central única de comunicação e inteligência, não caracterizando atividade policial ostensiva; e todos os militares do batalhão residem na cidade. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 42 Se as quantidades de policiais do sexo feminino em cada um dos três pelotões são números que satisfazem à inequação x² – 520x + 64.000 < 0, então, no batalhão, há mais de 600 policiais do sexo feminino. Primeiramente vamos achar as raízes da equação x² – 520x + 64.000 = 0 Note que a = 1, b = -520, c = 64000 Calculando o valor de Δ: Δ = b² – 4ac = (-520)² – 4.1.(64000) = 270400 – 256000 = 14400 Calculando as raízes: Logo, as duas raízes serão: x’ = (520 + 120) / 2 = 640/2 = 320 x” = (520 – 120) /2 = 400/2 = 200 Por se tratar de uma equação do segundo grau com a>0, temos uma parábola com cavidade para cima, cortando o eixo x em 200 e 320. Logo, na inequação x² – 520x + 64.000 < 0, temos que 200 < x < 320. Disto temos que cada um dos três pelotões tem mais que 200 e menos que 320 mulheres, logo, o batalhão tem mais que 600 mulheres. CERTO (Prova Resolvida BB 2010 – Cesgranrio) 29 A proposição funcional “Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6n < n² + 8 ” será verdadeira, se n for um número real (A) menor que 8. (B) menor que 4. (C) menor que 2. (D) maior que 2. (E) maior que 3. Vamos resolver a inequação: n² – 6n + 8 > 0, para isto, devemos achar as raízes da equação n² – 6n + 8 = 0: Pelo método de soma e produto: Soma = -b/a = 6/1 = 6 Produto = c/a = 8/1 = 8 Os dois números cuja soma é 6 e o produto é 8 só podem ser 2 e 4. Veja em nosso material didático que o gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola, e que quando a > 0 a parábola tem a concavidade para cima. Logo, a proposição é verdadeira para n<2 ou n>4. Letra C (Prova Resolvida RFB 2009 – Esaf) Vamos calcular as raízes de f(x): Δ = b² – 4.a.c = (-2)² – 4.1.1 = 4 – 4 = 0 x = (-b +- √Δ)/2a = (2 +- 0)/2 = 2/2 = 1 Como o gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola, f(x) só tem uma raíz igual a 1 e a>0, temos uma parábola com o “buraco” para cima e o vértice no ponto (1,0). Logo, f(x) é menor ou igual a zero apenas quando x=1. Logo A = {1}. Como não temos a opção de Y ser vazio, só nos resta a alternativa C.

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domingo, 5 de outubro de 2014

Progressões Geométricas - P.G

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quarta-feira, 3 de setembro de 2014

Sequências e progressões aritméticas e geométricas - Introdução

Inequação do 2º grau

Inequação do 1º Grau

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Funções do 2º Grau

1. O grau de uma função

2. Definição

3. Representação gráfica da função y = ax2

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3. Representação gráfica da função y = ax²