Inequação do 2º grau

Uma inequação do 2° grau  na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:

ax² + bx + c > 0;
ax² + bx + c < 0;
ax² + bx + c ≥ 0;
ax² + bx + c ≤ 0.

Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação.

1. Igualar a sentença do 2° grau a zero;
2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:

a > 0	a < 0

Exemplo 1: Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.

Solução:
-x² + 4 = 0.
x² - 4 = 0.
x₁ = 2
x₂ = -2

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente


As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

S = {x ? R / –7/3 < x < –1}


Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x ? R / x ≤ –1 ou x ≥ 1/2}



Exemplo 3

Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.

S = {x ? R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}


Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x ? R / x < 3 e x > 3}

Exercício 1: (PUC-RIO 2009)

Quantas soluções inteiras a inequação x² + x - 20 ≤ 0 admite?

A)	2
B)	3
C)	7
D)	10
E)	13

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Exercício 2: (UDESC 2008)

O conjunto solução da inequação x² - 2x - 3 ≤ 0 é:

A)	{x  R / -1 < x < 3}
B)	{x  R / -1 < x ≤ 3}
C)	{x  R / x < -1 ou x > 3}
D)	{x  R / x ≤ -1 ou x ≥ 3}
E)	{x  R / -1 ≤ x ≤ 3} Apresentamos vários exercícios resolvidos sobre inequações do segundo grau, que caíram em concursos públicos.   (Prova Resolvida PRF 2013 – Cespe)           Considere que o nível de concentração de álcool na corrente sanguínea, em g/L, de uma pessoa, em função do tempo t, em horas, seja expresso por N = – 0,008(t² – 35t + 34). Considere, ainda, que essa pessoa tenha começado a ingerir bebida alcoólica a partir de t = t0 (N(t0 = 0), partindo de um estado de sobriedade, e que tenha parado de ingerir bebida alcoólica em t = t1, voltando a ficar sóbria em t = t2. Considere, por fim, a figura acima, que apresenta o gráfico da função N(t) para t є [t0, t2]. Com base nessas informações e tomando 24,3 como valor aproximado de √589, julgue os itens que se seguem. 23. O nível de concentração de álcool na corrente sanguínea da pessoa em questão foi superior a 1 g/L por pelo menos 23 horas.   Isso ocorre quando: - 0,008(t² – 35t + 34) > 1 - 8(t² – 35t + 34) > 1000 t² – 35t + 34 > – 125 t² – 35t + 159 > 0   Delta = b² – 4ac = 35² – 4.1.159 = 589   t = (35 + 24,3)/2 ou t = (35 – 24,3)/2 t = 29,65 ou t = 5,35   S = {5,35 ˂ x ˂ 29,65} , diferença entre eles = 24,3   Questão CERTA.     24. O valor de t2 é inferior a 36.   Só acharmos as raízes da função:   -0,008(t² – 35t + 34) = 0 (x 1000) -8(t² – 35t + 34) = 0 (: -8) t² – 35t + 34 = 0 t0 = 1 ou t2 = 34   Questão CERTA.     25. O nível de concentração mais alto de álcool na corrente sanguínea da referida pessoa ocorreu em t = t1, com t1 > 18 horas.   O nível mais alto, em se tratando de uma função do segundo grau, é exatamente no meio das duas raízes, ou seja, basta tirar a média aritmética de 1 e 34, que é igual a 35/2 = 17,5   Questão ERRADA. (Prova Resolvida PM Ceará 2012)     O batalhão de polícia militar de uma cidade constituída dos bairros B1, B2 e B3 será dividido em três pelotões distintos de modo que cada um fique responsável pelo policiamento ostensivo de um desses bairros. As populações dos bairros B1, B2 e B3 são, respectivamente, iguais a 60.000, 66.000 e 74.000 pessoas; o batalhão possui um efetivo de 4.000 militares dos quais 300 trabalham exclusivamente em uma central única de comunicação e inteligência, não caracterizando atividade policial ostensiva; e todos os militares do batalhão residem na cidade. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.     42 Se as quantidades de policiais do sexo feminino em cada um dos três pelotões são números que satisfazem à inequação x² – 520x + 64.000 < 0, então, no batalhão, há mais de 600 policiais do sexo feminino. Primeiramente vamos achar as raízes da equação  x² – 520x + 64.000 = 0 Note que a = 1, b = -520, c = 64000 Calculando o valor de Δ: Δ = b² – 4ac = (-520)² – 4.1.(64000) = 270400 – 256000 = 14400 Calculando as raízes:   Logo, as duas raízes serão: x’ = (520 + 120) / 2 = 640/2 = 320 x” = (520 – 120) /2 = 400/2 = 200 Por se tratar de uma equação do segundo grau com a>0, temos uma parábola com cavidade para cima, cortando o eixo x em 200 e 320. Logo, na inequação  x² – 520x + 64.000 < 0, temos que 200 < x < 320. Disto temos que cada um dos três pelotões tem mais que 200 e menos que 320 mulheres, logo, o batalhão tem mais que 600 mulheres. CERTO     (Prova Resolvida BB 2010 – Cesgranrio)     29 A proposição funcional “Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6n < n² + 8  ” será verdadeira, se n for um número real (A) menor que 8. (B) menor que 4. (C) menor que 2. (D) maior que 2. (E) maior que 3. Vamos resolver a inequação: n² – 6n + 8 > 0, para isto, devemos achar as raízes da equação n² – 6n + 8 = 0: Pelo método de soma e produto: Soma = -b/a = 6/1 = 6 Produto = c/a = 8/1 = 8 Os dois números cuja soma é 6 e o produto é 8 só podem ser 2 e 4. Veja em nosso material didático que o gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola, e que quando a > 0 a parábola tem a concavidade para cima. Logo, a proposição é verdadeira para n<2 ou n>4. Letra C     (Prova Resolvida RFB 2009 – Esaf)   Vamos calcular as raízes de f(x): Δ = b² – 4.a.c = (-2)² – 4.1.1 = 4 – 4 = 0 x = (-b +- √Δ)/2a = (2 +- 0)/2 = 2/2 = 1 Como o gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola, f(x) só tem uma raíz igual a 1 e a>0, temos uma parábola com o “buraco” para cima e o vértice no ponto (1,0). Logo, f(x) é menor ou igual a zero apenas quando x=1. Logo A = {1}. Como não temos a opção de Y ser vazio, só nos resta a alternativa C.