1. O grau de uma função
O grau de uma variável independente é dado pelo seu expoente. Assim, as funções de segundo grau são dadas por um polinômio de segundo grau, e o grau do polinômio é dado pelo monômio de maior grau.
Portanto, as funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico que corresponde a essas funções é uma curva denominada parábola.
|
No dia-a-dia, há muitas situações definidas pelas funções de segundo grau. A trajetória de uma bola lançada para a frente é uma parábola. Se fizermos vários furos em várias alturas num bote cheio de água, os pequenos jorros de água que saem pelos furos descrevem parábolas. A antena parabólica tem a forma de parábola, originando o seu nome.
2. Definição
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:
f (x) = ax2 + bx + c, onde a 0
|
Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax2. É essencial que exista um termo de segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo grau. Além disso, esse termo deve ser o de maior grau da função, pois se houvesse um termo de grau 3, isto é, ax3, ou de grau superior, estaríamos falando de uma função polinomial de terceiro grau.
Assim como os polinômios podem ser completos ou incompletos, temos funções de segundo grau incompletas, como:
f (x) = x2
f (x) = ax2
f (x) = ax2+ bx
f (x) = ax2 + c
|
Pode acontecer de o termo de segundo grau aparecer isoladamente, como na expressão geral y = ax2; acompanhado por um termo de primeiro grau, como no caso geral y = ax2 + bx; ou também unido a um termo independente ou a um valor constante, como em y = ax2 + c.
É comum pensarmos que a expressão algébrica de uma função quadrática é mais complexa que a das funções lineares. Normalmente, também supomos que sua representação gráfica é mais complicada. Mas não é sempre assim. Além disso, os gráficos das funções quadráticas são curvas muito interessantes, conhecidas como parábolas.
3. Representação gráfica da função y = ax2
Como acontece com toda função, para representá-la graficamente temos, antes, de construir uma tabela de valores (Figura 3, ao lado).
Começamos representando a função quadrática y = x2, que é a expressão mais simples da função polinomial de segundo grau.
Se unirmos os pontos com uma linha contínua, o resultado é uma parábola, como mostra a Figura 4, abaixo:
Observando atentamente a tabela de valores e a representação gráfica da função y = x2 vamos perceber que o eixo Y, das ordenadas, é o eixo de simetria do gráfico.
Além disso, o ponto mais baixo da curva (aquele em que a curva se intercepta com o eixo Y) é o ponto de coordenadas (0, 0). Este ponto é conhecido como vértice da parábola.
|
Na Figura 5, ao lado, estão as representações gráficas de várias funções que têm como expressão geral y = ax2.
Observando com atenção a Figura 5 podemos afirmar:
• O eixo de simetria de todos os gráficos é o eixo Y.
Como x2 = (– x)2, a curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
Como x2 = (– x)2, a curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
• A função y = x2 é crescente para x > xv e decrescente para x < xv. Trata-se de uma função contínua, pois para pequenas variações de xcorrespondem pequenas variações de y.
• Todas as curvas têm o vértice no ponto (0,0).
• Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas positivas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de mínimo que é o próprio vértice.
• Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas negativas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de máximo que é o próprio vértice.
• Se o valor de a for positivo, os ramos da parábola se dirigem para cima. Ao contrário, se a for negativo, os ramos se dirigem para baixo. Dessa forma, o sinal do coeficiente determina a orientação da parábola:
a > 0, a parábola abre-se para valores positivos de y.
a < 0, a parábola abre-se para valores negativos de y.
|
•
|
À medida que aumenta o valor absoluto de a, a parábola é mais fechada, isto é, os ramos ficam mais próximos do eixo de simetria: quanto maior |a|, mais a parábola se fecha.
|
•
|
Os gráficos de y = ax2 e y = –ax2 são simétricos entre si com relação ao eixo X, das abscissas.
|
1) A representação cartesiana da função é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
(A) a<0, b<0 e c>0 (B) a>0, b>0 e c<0 (C) a>0, b>0 e c>0 (D) a<0, b>0 e c<0 (E) a<0, b>0 e c>0 |
Isto é apenas análise de coeficientes:
- a concavidade da parábola está para baixo, portanto, o coeficiente "a" é negativo (a<0); - a parábola corta o eixo Y (eixo vertical) em um ponto acima da origem, logo "c" é positivo (c>0); - após o ponto de corte do eixo Y, a parábola sobe, então "b" é positivo; - resposta certa letra "E". |
2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(B)
(C)
(D)
(E)
- no gráfico é indicado quais são as raízes da função (-3/2 e 3), então sabemos quais são os fatores da equação (x+3/2) e (x-3). Agora efetuando a multiplicação entre estes dois fatores, achamos uma suposta equação para este gráfico:
- mas esta é somente uma suposta equação, pois veja quanto vale seu coeficiente "c". Ele vale -9/2, e no gráfico mostra que ele deve valer "-9". Então, o que devemos fazer para -9/2 virar -9? Isso mesmo, multiplicar TUDO por 2. Daí teremos a equação certa.
2x2-3x-9 Letra "C"
|
3) O valor mínimo do polinômio , cujo gráfico é mostrado na figura, é:
(A)
(B)
(B)
(C)
(D)
(E)
- este exercício envolve dois tópicos de equações quadráticas: calcular a equação e calcular o vértice;
- é dada uma equação incompleta, sendo indicado somente o valor de "a" (a=1). Porém, no gráfico podemos descobrir as raízes e achar os fatores da função. As raízes são 0 e 3, portanto os fatores, (x-0) e (x-3). Vamos multiplicar os fatores:
Resposta certa, letra "C"
|
4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade são os números x, tais que
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(B)
(C)
(D)
(E)
- esta é uma questão de análise de sinal, pois a equação dada pode ser escrita da seguinte forma:
x2+1>2x => x2-2x+1>0
- agora, o que está sendo perguntado é: quando a equação x2-2x+1 é positiva? Vamos fazer a análise de sinal, para isso devemos calcular as raízes. Aplicando Bhaskara, achamos 1 e 1 (raízes idênticas). Portanto, o esboço do gráfico é assim: |
5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a
(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200s
(E) 10.000 m , 5s
(B) 250 m, 0s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200s
(E) 10.000 m , 5s
- primeiro devemos fazer o esboço do gráfico. Veja como é:
Resposta certa letra "C"
|
6) (UFRGS) Considere a função , definida por , com e . O gráfico de f
(A) não intercepta o eixo das abscissas
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.
- é dito que o coeficiente "a" é menor que zero, e o "c" é maior que zero. Portanto, deve ter concavidade para baixo (boca triste) e cortar o eixo Y em um ponto acima da origem. Podemos fazer um esboço gráfico da seguinte maneira:
- este é um gráfico que poderia ser da função dada. A única alternativa que bate com este gráfico é a letra "B".
- P.S.: Eixo das Abscissas é o eixo X e eixo das ordenadas é o eixo Y.
|
7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- a soma vale 7/2 e o produto vale 3/2, portanto a razão entre a soma e o produto vale:
Resposta certa letra "A"
- Obs.: Sempre que for pedido razão de dois termos, o que vai em cima da divisão é o que foi dito primeiro, portanto ele pede a "soma" dividida pelo "produto".
|
8) A solução de é
(A) (0, 1)
(B) (-∞, 0)U(1, +∞)
(C) (-1, 1)
(D) (-∞, -1)U(1,+∞)
(E) R
(B) (-∞, 0)U(1, +∞)
(C) (-1, 1)
(D) (-∞, -1)U(1,+∞)
(E) R
- aqui é outro exercício de "análise de sinal". A equação dada só está um pouco "bagunçada". Vamos arrumá-la:
- agora, o que é pedido é: quando a função é positiva?
- vamos fazer a análise dos sinais, primeiro calculando as raízes, que são 0 e 1. Portanto o esboço do gráfico é o seguinte:
- portanto, ela é positiva no intervalo de zero até um (0,1). Resposta certa letra "A".
|
9) (UFRGS) Para que a prábola da equação contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,
(A) e
(B) e
(C) e
(D) e
(E) e
- os pontos dados são coordenadas (X, Y) então o que devemos fazer é substituir cada um deles em uma equação:
- substituimos o valor de a na primeira equação e substituímos na segunda:
|
10) O vértice da parábola que corresponde à função é
(A) (-2, -2)
(B) (-2, 0)
(C) (-2, 2)
(D) (2, -2)
(E) (2, 2)
(B) (-2, 0)
(C) (-2, 2)
(D) (2, -2)
(E) (2, 2)
- a única dificuldade deste exercício é achar a função escrita de um modo mais organizado. Vamos calcular o parênteses, que está ao quadrado:
- agora é só calcular o valor das coordenadas do vértice, sabendo que a=1 b=-4 e c=6.
Resposta certa letra "E"
|
11) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:
(A) 17,5m
(B) 15,0m
(C) 12,5m
(D) 10,0m
(E) 7,5m
(B) 15,0m
(C) 12,5m
(D) 10,0m
(E) 7,5m
0 comentários:
Postar um comentário